正定矩阵的定义及性质

正定矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型。它在优化问题、统计学、物理学、工程学等领域中具有广泛应用。

定义：对于一个n阶实对称矩阵A，如果对任意非零向量x，都有x^T A x > 0（其中x^T表示向量x的转置），那么称A为正定矩阵。

性质：

1. 正定矩阵的所有特征值都大于0。
2. 正定矩阵的所有主子式都大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵可以通过对称化和对角化得到。

正定矩阵在优化问题中的应用非常广泛，例如用于求解最小二乘问题、线性规划、最优化算法等。在统计学中，正定矩阵常用于定义多元正态分布的协方差矩阵。此外，正定矩阵还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

了解正定矩阵的定义及性质有助于我们更好地理解和应用它在各个领域中的作用。